Question

已知向量

a

=(4x+1 ， 2x) ， 

b

=(y-1 ， y-k) ，

a

⊥

b．

（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的最小值為-3，求實數k的值；
（3）若對任意實數x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據向量垂直的充要條件的坐標表示式，建立關于x、y的等式，從中解出用x表示y的式子，即可得到函數y=f（x）的解析式．
（2）將f（x）表達式的分子、分母都除以2^x，得到它的分母2^x+2^-x+1≥2

2x•2-x

+1=3．再根據k與1的大小關系分類討論，即可得到必定有k＜1，且當2^x=2^-x=1即x=0時，函數有最小值為-3，由此解關于k的等式即得實數k的值．
（3）根據構成三角形的條件，得出不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，然后分三種情況進行討論，轉化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進而可以求出實數k 的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(4x+1 ， 2x) ， 

b

=(y-1 ， y-k) ，

a

⊥

b．

∴（4^x+1）（y-1）+2^x（y-k）=0，化簡整理得y（4^x+2^x+1）=4^x+k•2^x+1
因此，函數y=f（x）的解析式為y=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

；
（2）∵f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

(k-1)•2x

4x+2x+1

∴根據函數f（x）的最小值為-3，得t=

(k-1)•2x

4x+2x+1

的最小值為-4
∵2^x+2^-x+1≥2

2x•2-x

+1=3
∴當k＞1時，

(k-1)•2x

4x+2x+1

=

k-1

2x+2-x+1

≤

k-1

3

；當k＜1時，

(k-1)•2x

4x+2x+1

=

k-1

2x+2-x+1

≥

k-1

3

；
k=1時，函數f（x）=1恒成立不符合題意．
∴結合題意可得k＜1，且當且僅當2^x=2^-x=1，即x=0時，t的最小值為

k-1

3

=-4，解之得k=-11
即函數f（x）的最小值為-3時，實數k的值為-11；
（3）∵對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當k＞1時，因為2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，
∴

k+2

3

≤2，解之得1＜k≤4；
當k=1時，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足題意的條件；
當k＜1時，因為

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，
∴

2k+4

3

≥1，解之得-

1

2

≤k＜1；
綜上所述，實數k的取值范圍是[-

1

2

，4]

點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數的表達式并討論函數的最值．著重考查了向量數量積公式、基本不等式求最值、函數恒成立等知識，屬于中檔題．