Question

（本小題滿分14分）

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

（1）求證：P-ABC為正四面體；

（2）棱PA上是否存在一點M，使得BM與面ABC所成的角為45°？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由。

（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和，并且該平行六面體的一條側(cè)棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析  （2）M點 滿足AM=    

（3）構(gòu)造棱長均為,底面為正方形或銳角為60°的菱形的平行六面體

【解析】

試題分析： 

（1）解：∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.                 2分

   又∵截面DEF∥底面ABC,

∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°

∴P-ABC是正四面體.                  4分

（2）（5分）

作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，

∵A、M、P三點共線       ∴A、N、O三點共線，延長AO交BC于G

∴∠MBN=45°，MN//PO

∵P-ABC為棱長為1的正四面體

∴ AO=，PO=             6分    

設(shè)MN=x，則BN=x，且

∴AM=，AN=

∵AG是等邊△ABC的中線              ∴∠BAN=30°

∴BN²=AN²+AB²-2ABANcos30°                            8分

解得x=

∴AM=                                   9分

（3）（5分）

存在滿足條件的平行六面體.                                 10分

棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6,則平行六面體的棱長均為,      11分

設(shè)該六面體一條側(cè)棱長為A₁B₁，與底面兩條棱A₁C₁和A₁D₁的夾角為60°，設(shè)底面四邊形的銳角為2α, 作B₁E₁⊥底面A₁C₁D₁于E₁，E₁F₁⊥A₁C₁

∵∠B₁A₁C₁=∠B₁A₁D₁

∴∠C₁A₁E₁=α 

則A₁F₁=，A₁E₁=，zxxk

B₁E₁=

則V=

解得 或   

∴2α=90°或60°                    13分

故構(gòu)造棱長均為,底面為正方形或銳角為60°的菱形的平行六面體即滿足要求.  14分

考點：棱柱 棱臺的性質(zhì)，直線與平面所成角，解三角形，柱體體積公式

點評：該題綜合性較強，涉及多知識點的交匯