【題目】已知實數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)證明:對任意,恒成立;
(Ⅱ)如果對任意均有,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到函數(shù),故只需證,設(shè),求導(dǎo)得到,得到證明.
(Ⅱ)對任意有意義,,令可得, 所以,再證明對任意,任意,不等式恒成立,考慮關(guān)于的函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性得到,計算函數(shù)單調(diào)性得到證明.
(Ⅰ)易知的定義域為,
若,則,
,
則在單調(diào)增,在單調(diào)減,
所以.
要證恒成立,只需證.
令,.
,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故,由于,
∴,即恒成立.
(Ⅱ),即.(*)
1°(*)對任意有意義,
當(dāng)時,,∴;
2°若(*)對任意恒成立,則.
特別地,在(*)中令可得,
故.
注意到在單調(diào)增,
且,所以當(dāng)且僅當(dāng).
3°下面證明:對任意,任意,不等式(*)恒成立.
首先,將正實數(shù)給定,考慮關(guān)于的函數(shù),
注意到在單調(diào)增,
故.
下面只需說明:對于恒成立即可.
顯然,故只需說明在單調(diào)增,在單調(diào)減.
當(dāng)時,,
故;
當(dāng)時,,
故.因此在單調(diào)增,在單調(diào)減.
綜上可知,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項和,對任意,都有(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求;
(2)當(dāng)時,
(ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(ⅱ)若對任意,必存在使得,已知,且,求數(shù)列的通項公式.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a,b∈R.則“關(guān)于x的方程有兩個不等實數(shù)根”是“a >|b|+1”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市對一項惠民市政工程滿意程度(分值:分)進行網(wǎng)上調(diào)查,有2000位市民參加了投票,經(jīng)統(tǒng)計,得到如下頻率分布直方圖(部分圖):
現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機抽取位市民召開座談會,其中滿意程度在的有5人.
(1)求的值,并填寫下表(2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計);
滿意程度(分?jǐn)?shù)) | |||||
人數(shù) |
(2)求市民投票滿意程度的平均分(各分?jǐn)?shù)段取中點值);
(3)若滿意程度在的5人中恰有2位為女性,座談會將從這5位市民中任選兩位發(fā)言,求男性甲或女性乙被選中的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某“芝麻開門”娛樂活動中,共有扇門,游戲者根據(jù)規(guī)則開門,并根據(jù)打開門的數(shù)量獲取相應(yīng)獎勵.已知開每扇門相互獨立,且規(guī)則相同,開每扇門的規(guī)則是:從給定的把鑰匙(其中有且只有把鑰匙能打開門)中,隨機地逐把抽取鑰匙進行試開,鑰匙使用后不放回.若門被打開,則轉(zhuǎn)為開下一扇門;若連續(xù)次未能打開,則放棄這扇門,轉(zhuǎn)為開下一扇門;直至扇門都進行了試開,活動結(jié)束.
(1)設(shè)隨機變量為試開第一扇門所用的鑰匙數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)求恰好成功打開扇門的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影,N是PC的中點.
(1)求證:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年寒假,因為“新冠”疫情全體學(xué)生只能在家進行網(wǎng)上學(xué)習(xí),為了研究學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某學(xué)校隨機抽取名學(xué)生對線上教學(xué)進行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為,抽取的學(xué)生中男生有人對線上教學(xué)滿意,女生中有名表示對線上教學(xué)不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“對線上教學(xué)是否滿意 與性別有關(guān)”;
態(tài)度 性別 | 滿意 | 不滿意 | 合計 |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 100 |
(2)從被調(diào)查的對線上教學(xué)滿意的學(xué)生中,利用分層抽樣抽取名學(xué)生,再在這名學(xué)生中抽取名學(xué)生,作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗介紹,求其中抽取一名男生與一名女生的概率.
附:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(1,e),(e,)在橢圓上C:1(a>b>0),其中e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l經(jīng)過C的上頂點且l與拋物線M:y2=4x交于P,Q兩點,F為橢圓的左焦點,直線FP,FQ與M分別交于點D(異于點P),E(異于點Q),證明:直線DE的斜率為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線表示兩和不同的直線,則的充要條件是( )
A.存在直線,使,B.存在平面,使,
C.存在平面,使,D.存在直線,使與直線所成的角都是
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com