Question

2．下列各式中，最小值為2的是（　�。�

• A． $x+\frac{1}{x}$
• B． $\sqrt{{x^2}+2}+\frac{4}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$
• C． $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$
• D． $x-2\sqrt{x}+3$

Answer 1

分析 A．x＜0時，$x+\frac{1}{x}$＜0，即可判斷出結(jié)論；
B．利用基本不等式的性質(zhì)可得$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥4，可知不成立．
C．若$\frac{y}{x}$＜0，$\frac{x}{y}$＜0，則不成立．
D．由于x≥0，可得$x-2\sqrt{x}$+3=$（\sqrt{x}-1）^{2}$+2，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．

解答 解：A．x＜0時，$x+\frac{1}{x}$＜0，因此不成立；
B.$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}•\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時取等號，不成立．
C．若$\frac{y}{x}$＜0，$\frac{x}{y}$＜0，則不成立．
D．∵x≥0，∴$x-2\sqrt{x}$+3=$（\sqrt{x}-1）^{2}$+2≥2，當(dāng)x=1時取等號，因此其最小值為2．正確．
故選：D．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．