【題目】如圖,在四棱錐中,
平面
,
,
,
,
.
為線段
上的點(diǎn).
(I)證明:面
(Ⅱ)若是
的中點(diǎn),求
與平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)若滿足
面
,求二面角
正弦值.
【答案】(I)見解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
(I)根據(jù)平面幾何知識(shí)得,由
平面
得
,再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論,(II)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)垂直關(guān)系得平面
一個(gè)法向量,利用向量數(shù)量積得向量
與法向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果,(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)線面垂直確定G點(diǎn)坐標(biāo),列方程組解得平面
一個(gè)法向量,利用向量數(shù)量積得兩法向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.
(I)取中點(diǎn)
,因?yàn)?/span>
,
,
所以
因?yàn)?/span>平面
,
平面
所以
,
因?yàn)?/span>平面
,
平面
,
,
所以面
(II)以為坐標(biāo)原點(diǎn),
,平行于
的直線為
軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則因?yàn)?/span>
,
,所以
,因?yàn)?/span>
,所以
,
因此
從而為平面
一個(gè)法向量,
因此與平面
所成的角的正弦值為
.
(Ⅲ)同(II)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),
因?yàn)?/span>面
,
所以
因?yàn)?/span>為平面
一個(gè)法向量,
設(shè)為平面
的法向量,
則由得
所以
因此二面角正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)試確定在
上的單調(diào)性;
(2)若,函數(shù)
在(0,2)上有極值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、
是異面直線,給出下列結(jié)論:
①一定存在平面,使直線
平面
,直線
平面
;
②一定存在平面,使直線
平面
,直線
平面
;
③一定存在無數(shù)個(gè)平面,使直線
與平面
交于一個(gè)定點(diǎn),且直線
平面
.
則所有正確結(jié)論的序號(hào)為( )
A.①②B.②C.②③D.③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為
,右焦點(diǎn)為
,過
作垂直于
軸的直線交該橢圓于
,
兩點(diǎn),直線
的斜率為
.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若的外接圓在
處的切線與橢圓交另一點(diǎn)于
,且
的面積為
,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】保護(hù)環(huán)境,防治環(huán)境污染越來越得到人們的重視,某企業(yè)在現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本(單位:萬元)與日產(chǎn)量
(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為
.現(xiàn)為了減少大氣污染,該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備,每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為
萬元,除塵后,當(dāng)日產(chǎn)量
時(shí),每日生產(chǎn)總成本
.
(1)求的值;
(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬元,試求除塵后日產(chǎn)量為多少噸時(shí),每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),方程
在區(qū)間
內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐,底面
為菱形,
,
,
平面
,
分別是
的中點(diǎn)。
(1)證明: ;
(2)若為
上的動(dòng)點(diǎn),
與平面
所成最大角
的正切值為,求二面角
的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四面體ABCD中AB⊥面BCD,BC⊥DC,BE⊥AD垂足為E,F為CD中點(diǎn),AB=BD=2,CD=1.
(1)求證:AC∥面BEF;
(2)求點(diǎn)B到面ACD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,
,過點(diǎn)
垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓與
,
兩點(diǎn),且
.
(1)求橢圓方程:
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)做兩條互相垂直的射線,與橢圓分別交于
,
兩點(diǎn),求證:點(diǎn)
到直線
的距離為定值.
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