Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F₂（1，0）的距離的最大值為+1．
（1）求橢圓C的方程．
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），過點(diǎn)F₂且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．對(duì)于任意的k∈R，是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，可知：c=1且a+c=+1，
∴a=，可得b²=a²-c²=1
因此，橢圓C的方程為：+y²=1
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）
直線交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
∵M(jìn)（，0），可得，
∴=（x₁-）（x₂-）+y₁y₂=-（x₁+x₂）+x₁x₂++y₁y₂，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴=-（x₁+x₂）+x₁x₂++y₁y₂
=-（x₁+x₂）+x₁x₂++k²（x₁-1）（x₂-1）
=-•+++k²（-+1）=-
∴對(duì)于任意的k∈R，=-（定值）．
分析：（1）根據(jù)題意，可得c=1且a=，再用平方關(guān)系算出b²=1，從而得到橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l的方程y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)解消去y，得關(guān)于x的方程，再運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系算出x₁+x₂、x₁x₂關(guān)于k的式子，最后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式將化簡(jiǎn)整理，即可得到對(duì)于任意的k∈R，=-（定值）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓方程，求解過焦點(diǎn)的直線與橢圓相交所得向量數(shù)量積的問題，著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．