Question

如圖，橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P （1，），離心率e=，直線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意將點(diǎn)P （1，）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）方法一：可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=，，再求點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別表示出k₁，k₂，k₃．比較k₁+k₂=λk₃即可求得參數(shù)的值；
方法二：設(shè)B（x，y）（x≠1），以之表示出直線FB的方程為，由此方程求得M的坐標(biāo)，再與橢圓方程聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，由此表示出k₁，k₂，k₃．比較k₁+k₂=λk₃即可求得參數(shù)的值
解答：解：（1）橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P （1，），可得  ①
由離心率e=得=，即a=2c，則b²=3c²②，代入①解得c=1，a=2，b=
故橢圓的方程為
（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）③
代入橢圓方程并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=，    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k），
從而，，=k-
注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=k_AF=k_BF，即有==k
所以k₁+k₂=+=+-（+）
=2k-×    ⑤
④代入⑤得k₁+k₂=2k-×=2k-1
又k₃=k-，所以k₁+k₂=2k₃
故存在常數(shù)λ=2符合題意
方法二：設(shè)B（x，y）（x≠1），則直線FB的方程為
令x=4，求得M（4，）
從而直線PM的斜率為k₃=，
聯(lián)立，得A（，），
則直線PA的斜率k₁=，直線PB的斜率為k₂=
所以k₁+k₂=+=2×=2k₃，
故存在常數(shù)λ=2符合題意
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了分析轉(zhuǎn)化的能力與探究的能力，考查了方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量大，極易出錯(cuò)，解答時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算，嚴(yán)密推理，方能碸解答出．