【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若函數(shù)存在最小值,且最小值大于,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)若存在實數(shù),使得,求證:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見解析

【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最小值,從而確定a的范圍即可;

(Ⅱ)令hx)=fx)﹣f(2ax),x∈(0,a),得到fx1)>f(2ax1),結合fx1)=fx2,從而證明結論.

(Ⅰ)f′(x,

a≤0時,f′(x)>0在(0,+∞)恒成立,

fx)在(0,+∞)遞增,故無最小值;

a>0時,由f′(x)>0,解得:xa,

f′(x)<0,解得:0<xa,

fx)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,

此時fx)有最小值,且fxmina(1﹣alna),

ga)=1﹣alnaa>0),

ga)在(0,+∞)遞減,又g(1)=0,

∴0<a<1時,ga)>0,此時fxmin>0,

a≥1時,ga)≤0,此時fxmin≤0,

a的范圍是(0,1);

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,要存在實數(shù)x1,x2,使得fx1)=fx2),則a>0,

fx)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,

不妨設0<x1x2,則0<x1a,

hx)=fx)﹣f(2ax),x∈(0,a),

h′(x,

x∈(0,a)時,h′(x)<0,

hx)在(0,a)遞減,

x1∈(0,a),∴hx1)>ha)=fa)﹣fa)=0,

fx1)﹣f(2ax1)>0,

fx1)>f(2ax1),

fx1)=fx2),

fx2)>f(2ax1),

∵0<x1a,∴2ax1a,

fx)在(a,+∞)遞增,

x2>2ax1,∴a

∴函數(shù)fx)在區(qū)間[,+∞)遞增,

x1x2,∴,

∴函數(shù)fx)在區(qū)間[,+∞)上單調(diào)遞增.

練習冊系列答案
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;

;

;

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非一線

一線

總計

愿生

不愿生

總計

附表:

算得,參照附表,得到的正確結論是( )

A. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關”

B. 以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”

C. 在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為“生育意愿與城市級別無關”

D. 以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”

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