Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2 5

5

，且A（0，2）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，設(shè)以橢圓C的右焦點F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，若點M為拋物線E上任意一點，求點M到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，b的值，再根據(jù)橢圓的離心率求得a值，從而得出橢圓C的方程即可；
（2）由（1）可求得橢圓C的右焦點坐標(biāo)從而求得拋物線E的方程，而直線l的方程為x-y+2=0，利用點到直線的距離公式求得點M到直線l的距離的函數(shù)表達式，最后利用求二次函數(shù)最小值的方法即可求出拋物線E上的點到直線l距離的最小值．

解答：解：（1）由題意可知，b=2（11分）
∵e=

c

a

=

2 5

5

即

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

4

5

∴a²=5（3分）
∴所以橢圓C的方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．（4分）
（2）：由（1）可求得橢圓C的右焦點坐標(biāo)F（1，0）（6分）
∴拋物線E的方程為：y²=4x，
而直線l的方程為x-y+2=0
設(shè)動點M為(

y 2 0

4

，y0)，
則點M到直線l的距離為（8分）
d=

| y 2 0 4 -y0+1|

2

=

| 1 4 (y0-4)2-1|

2

≥

1

2

=

2

2

．（13分）
即拋物線E上的點到直線l距離的最小值為

2

2

．（14分）

點評：本本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系、拋物線的方程等．考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題．要能較好的解決橢圓問題，必須熟練把握好橢圓方程中的離心率、長軸、短軸、標(biāo)準(zhǔn)線等性質(zhì)．