Question

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)=

a•2x+b

2x+1

，且f(2)=

3

5

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）解不等式：f^-1（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

a•2x+b

2x+1

是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=2代入，即可得到關(guān)于a，b的兩個(gè)等式，解方程組求出a，b的值．
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，⇒f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

，從而f^-1（x）＞1?log₂

1+x

1-x

＞1，最后轉(zhuǎn)化成分式不等式

1+x

1-x

＞2，解之即得．

解答：解：∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

a•2x+b

2x+1

是奇函數(shù)，且f(2)=

3

5

∴

f(0)=0 f(2)= 3 5

，
即

a+b=0 4a+b 5 = 3 5

解得

a=1 b=-1

，
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，⇒f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴f^-1（x）＞1?log₂

1+x

1-x

＞1，
即

1+x

1-x

＞2，
解之，得

1

3

＜x＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，以及應(yīng)用性質(zhì)求參數(shù)的值，不等式的解法，屬于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．