Question

如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點(diǎn)A在直線l 上的射影為A₁，點(diǎn)B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：
（Ⅰ） 直線AB分別與平面α，β所成角的大��；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知BB₁⊥α．AA₁⊥β，直線AB分別與平面α，β所成角分別為∠BAB₁，∠ABA₁，解相關(guān)的三角形即可．
（Ⅱ）在平面α內(nèi)過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，證出A₁E⊥平面AB₁B，再過E作EF⊥AB交AB于F，連接A₁F，則∠A₁FE 為所求角．解三角形A₁FE即可．
解答：解：（Ⅰ）如圖，連接A₁B，AB₁，∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，
∴AA₁⊥β，BB₁⊥α． 則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角．
Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，∴sin∠BAB₁==．∴∠BAB₁=45°．
Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，sin∠ABA₁==，∴∠ABA₁=30°．
故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．           
（Ⅱ）∵BB₁⊥α，∴平面ABB₁⊥α．在平面α內(nèi)過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，
則A₁E⊥平面AB₁B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A₁F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB，∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=．∴Rt△AA₁B中，A₁B===． 由AA₁•A₁B=A₁F•AB得 A₁F===，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE==，∴二面角A₁-AB-B₁的余弦值是，
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間角的計(jì)算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．