Question

14．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，則最長邊與最短邊的比為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由三角形的內角和定理得到C=π-（A+B），然后利用兩角和與差的正切函數公式及誘導公式化簡，將tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數，得到C為鈍角，根據大角對大邊可得c為最大邊，根據正切函數的單調性由tanB小于tanA，得到B小于A，即b小于a，可得最短的變?yōu)閎，根據tanB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，由sinB，sinC和c的值，利用正弦定理即可求出最長邊與最短邊的比．

解答 解：tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-1，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{3}{4}π$，
∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均為銳角，則B＜A，
又C為鈍角，∴最短邊為b，最長邊長為c，
由tanB=$\frac{1}{3}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{c}=\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{5}$
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：兩角和與差的正切函數公式，誘導公式，三角形的邊角關系，同角三角函數間的基本關系，以及正弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．