Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=log₂x．
（Ⅰ）求當x＜0時，函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）求滿足f（x+1）＜-1的x的取值范圍；
（Ⅲ）已知對于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求證：函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當x＜0時，則有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），由此求得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）由于 f(x)=

log2x (x＞0) -log2(-x) (x＜0)

，可得f(x+1)=

log2(x+1) (x＞-1) -log2[-(x+1)] (x＜-1)

，由f（x+1）＜-1，可得

x＞-1 log2(x+1)＜-1

，或

x＜-1 -log2[-(x+1)]＜-1

．
由此解得x的范圍．
（Ⅲ）根據(jù)對稱性，只要證明函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x在x∈（0，+∞）上無交點即可．令x∈（0，+∞），函數(shù)y₁=log₂x，y₂=x，分①當x∈（0，1]時，②當x∈（2^k，2^k+1]（k∈N）時這2種情況，分別求得y₁＜y₂，可得在x∈（0，+∞）上直線y=x始終在y=log₂x的圖象之上方，命題得證．

解答：解：（Ⅰ）當x＜0時，則有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），∴f（x）=-log₂（-x）．------（5分）
（Ⅱ）由于 f(x)=

log2x (x＞0) -log2(-x) (x＜0)

，
∴f(x+1)=

log2(x+1) (x+1＞0) -log2[-(x+1)] (x+1＜0)

=

log2(x+1) (x＞-1) -log2[-(x+1)] (x＜-1)

，
因為f（x+1）＜-1，∴

x＞-1 log2(x+1)＜-1

，或

x＜-1 -log2[-(x+1)]＜-1

．
解得x＜-3，或-1＜x＜-

1

2

．----（10分）
（Ⅲ）根據(jù)對稱性，只要證明函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x在x∈（0，+∞）上無交點即可．
令x∈（0，+∞），函數(shù)y₁=log₂x，y₂=x，
①當x∈（0，1]時，y₁≤0，y₂＞0，則y₁＜y₂，
②當x∈(2k，2k+1](k∈N)時，y1≤k+1，y2＞2k≥k+1，則y1＜y2，
則在x∈（0，+∞）上直線y=x始終在y=log₂x的圖象之上方．
綜上所述，由于對稱性可知，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點．---------（15分）

點評：本題主要考查求函數(shù)的解析式，對數(shù)不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．