Question

13．已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0
（1）若直線3x-4y-6=0與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求弦|AB|的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)C關(guān)于直線m：3x-4y-6=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求弦|AB|的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)（1，-2）關(guān)于直線3x-4y-6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是C′（a，b），利用垂直、和中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上這兩個(gè)條件求出a、b的值，可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，可化為圓（x-1）²+（y+2）²=9，
∴圓心坐標(biāo)為（1，-2），半徑為3，
圓心到直線3x-4y-6=0的距離d=$\frac{3+8-6|}{5}$=1，
∴|AB|=2$\sqrt{9-1}$=4$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)點(diǎn)（1，-2）關(guān)于直線3x-4y-6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是C′（a，b），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a-1}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{1+a}{2}-4×\frac{-2+b}{2}-6=0}\end{array}\right.$，求得a=-$\frac{1}{5}$，b=-$\frac{2}{5}$，可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，利用了垂直、和中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上這兩個(gè)條件，屬于中檔題．