Question

已知拋物線C₁：y²=4x，圓C₂：（x-1）²+y²=1，過拋物線焦點F的直線l交C₁于A，D兩點（點A在x軸上方），直線l交C₂于B，C兩點（點B在x軸上方）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；
（Ⅱ）設直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為m、n、p、q，且滿足m+n+p+q=3

2

，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差數列，求出所有滿足條件的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=x_A，同理可得：|CD|=x_D，要分l⊥x軸和l不垂直x軸兩種情況分別求值，當l⊥x軸時易求，當l不垂直x軸時，將直線的方程代入拋物線方程，利用根與系數關系可求得．
（2）首先在第1問得基礎上和|AB|，|BC|，|CD|成等差數的關系用坐標表示，就可得出k的值，然后再把m+n+p+q=3

2

用坐標表示，再聯(lián)立直線和圓的方程利用根與系數關系，把幾個坐標的關系式聯(lián)合起來就可確定k的值，從而求出此時的直線方程．

解答：解：（1）∵y²=4x，焦點F（1，0），準線 l₀：x=-1．
由定義得：|AF|=x_A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x_A同理：|CD|=x_D
當l⊥x軸時，則x_D=x_A=1，∴|AB|×|CD|=1          
當l：y=k（x-1）時，代入拋物線方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x_Ax_D=1，∴|AB|×|CD|=1
綜上所述，|AB|×|CD|=1
（2）∵|AB|，|BC|，|CD|成等差，且|AB|=x_A，|BC|=2，|CD|=x_D，∴x_A+x_D=4
由（1）得：xA+xD=

2k2+4

k2

， ∴k2=2，∴k=±

2

∵l：y=k（x-1），∴m=kOA=

yA

xA

=k(1-

1

xA

)
同理：n=k(1-

1

xB

) ，p=k(1-

1

xC

) ，q=k(1-

1

xD

)
∴m+n+p+q=k[4-(

1

xA

+

1

xD

)-(

1

xB

+

1

xC

)]=3

2

又

1

xA

+

1

xD

=

xA+xD

xAxD

=4
把y=k（x-1）代入（x-1）²+y²=1得，（k²+1）x²-2（1+k²）x+k²=1，∵k²=2，∴3x²-6x+2=0
∴xB+xC=2，  xBxC=

2

3

 ，

1

xB

+

1

xC

=3，  ∴K=-

2

，
所以所求直線L的方程為

2

x+y-

2

=0

點評：本題主要考查拋物線的定義、一元二次方程的根與系數關系，好在本題還融和了等差數列，主題思路是轉化成坐標關系式，用方程的思想去解決．