【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+1.
(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若≤a≤1,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,求證:g(a)≥.
【答案】(1)見(jiàn)解析.(2);(3)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)分成三類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)對(duì)函數(shù)進(jìn)行配方,根據(jù)對(duì)稱軸的位置對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,由此求得最大值和最小值,也即的表達(dá)式.(3)利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此求得的最小值,以此證明不等式成立.
(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上為減函數(shù);
當(dāng)a>0時(shí),拋物線f(x)=ax2-2x+1開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=,
故函數(shù)f(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);
當(dāng)a<0時(shí),拋物線f(x)=ax2-2x+1開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=,
故函數(shù)f(x)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).
(2)∵f(x)=a2+1-,
由≤a≤1得1≤≤3,∴N(a)=f=1-.
當(dāng)1≤<2,即<a≤1時(shí),M(a)=f(3)=9a-5,
故g(a)=9a+-6;
當(dāng)2≤≤3,即≤a≤時(shí),M(a)=f(1)=a-1,
故g(a)=a+-2.
∴g(a)=
(3)證明:當(dāng)a∈時(shí),g′(a)=1-<0,
∴函數(shù)g(a)在上為減函數(shù);
當(dāng)a∈時(shí),g′(a)=9->0,
∴函數(shù)g(a)在上為增函數(shù),
∴當(dāng)a=時(shí),g(a)取最小值,g(a)min==.
故g(a)≥.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知扇形的圓心角∠AOB=,半徑為,若點(diǎn)C是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).
(1)若弦,求的長(zhǎng);
(2)求四邊形OACB面積的最大值.
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【題目】已知(,且).
(1)當(dāng)(其中,且t為常數(shù))時(shí),是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)時(shí),求滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若曲線在點(diǎn)處切線的斜率為.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)令,試討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)()是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,試求的最小值.
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【題目】2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi),會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì).弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖)如果小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,直角三角形中較小的銳角為,則 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為:
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓C與直線交于兩點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)為了解群眾上下班共享單車(chē)使用情況,根據(jù)年齡按分層抽樣的方式調(diào)查了該地區(qū)50名群眾,他們的年齡頻數(shù)及使用共享單車(chē)人數(shù)分布如下表:
年齡段 | 20~29 | 30~39 | 40~49 | 50~60 |
頻數(shù) | 12 | 18 | 15 | 5 |
經(jīng)常使用共享單車(chē) | 6 | 12 | 5 | 1 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)是否經(jīng)常使用共享單車(chē)有差異?
年齡低于40歲 | 年齡不低于40歲 | 總計(jì) | |
經(jīng)常使用共享單車(chē) | |||
不經(jīng)常使用共享單車(chē) | |||
總計(jì) |
附:,.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(2)若采用分層抽樣的方式從年齡低于40歲且經(jīng)常使用共享單車(chē)的群眾中選出6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人,求這2人中恰好有1人年齡在30~39歲的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為記.
(1)求隨機(jī)變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(2)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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