Question

某電視臺有獎“闖關”競賽中，最后一關由4個問題構(gòu)成．競賽規(guī)定：選手只能選這4個問題中的一個問題回答，回答正確可獲得獎金如表1，回答錯誤一律罰金1000元；經(jīng)調(diào)查分析，統(tǒng)計得出每位選手選擇問題的序號與回答的正確率如表2；
表1                                                        

問題序號	1	2	3	4
獎   金	3000	4000	8000	12000

問題序號	1	2	3	4
正確率	75%	60%	30%	20%

表2
如果把以上表中統(tǒng)計的各種答題情況正確率作為所有選手相應答題正確的概率．
（Ⅰ）記選手選擇第i題（i=1，2，3，4）作答獲得的獎金為ξ元，求選手選擇第i題（i=1，2，3，4）作答獲得的獎金ξ的數(shù)學期望；并以此為依據(jù)判斷選手選擇哪個問題回答獲得獎金期望最多？
（Ⅱ）現(xiàn)有兩位選手同時闖最后一關，競賽規(guī)定：若他們都選序號（4）的問題，可以合作討論、共同回答，但所獲得的獎金只有一份，兩人必須平均分配．假設合作討論后他們回答該問題的正確率，比獨立回答時至少有一人回答正確的正確率提高了100%．請你給這兩位選手參謀：是否應該采用合作的方式來回答問題，并說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）記選手選擇第i題作答獲得的獎金為ξ_i元（i=1，2，3，4），分別求出E（ξ₁），E（ξ₂），E（ξ₃），E（ξ₄）．由此能求出選擇第1題或第2題作答獲得獎金期望最多．
（Ⅱ）若每位選手獨立回答序號（4），其獲得獎金的期望為E（ξ₄）=1600元．兩位選手合作回答該問題所獲得的獎金的期望為12000×

18

25

-1000

7

25

=8360元．故應該建議兩位選手采用合作的方式來回答問題．

解答： （解：（Ⅰ）記選手選擇第i題作答獲得的獎金為ξ_i元（i=1，2，3，4），
則P（ξ₁=3000）=75%=

3

4

，P（ξ₁=-1000）=1-

3

4

=

1

4

，
∴E（ξ₁）=3000×

3

4

-1000×

1

4

=2000，
同理可求：E（ξ₂）=4000×

3

5

-1000×

2

5

=2000，E（ξ₃）=8000×

3

10

-1000×

7

10

=1700，
E（ξ₄）=12000×

1

5

-1000×

4

5

=1600．
∴選擇第1題或第2題作答較好．
（Ⅱ）若每位選手獨立回答序號（4）：
其獲得獎金的期望為E（ξ₄）=12000×

1

5

-1000×

4

5

=1600元．
而兩位選手獨立回答序號（4）時至少有一個回答正確的正確率為：
1-(1-

1

5

)(1-

1

5

)=

9

25

．
所以兩位選手合作回答該問題的正確率為：2×

9

25

=

18

25

．
于是兩位選手合作回答該問題所獲得的獎金的期望為12000×

18

25

-1000

7

25

=8360元．
∵

1

2

×8360=4180＞1600，
∴應該建議兩位選手采用合作的方式來回答問題．

點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期的應用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．