Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

b2

=1（b∈N^*）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，O為坐標原點，點P在雙曲線上，且|OP|＜5，若|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₁|成等比數(shù)列，則b²等于（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：通過等比數(shù)列雙曲線的定義，余弦定理推出：|OP|²=20+3b²．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值

解答： 解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16…①
設∠POF₁=θ，則∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化簡得：|OP|²=8+3c²=20+3b²．
因為|OP|＜5，b∈N，所以20+3b²＜25．
所以b=1．
故選：A

點評：本題考查雙曲線的定義，余弦定理以及等比數(shù)列的應用，是有難度的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力