已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動．則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體表面所圍成的幾何體中較小體積值為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式
B
分析：根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分．即可求出結(jié)果．
解答：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，（N與D不重合）連接N點(diǎn)與D點(diǎn)
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
N與D重合也滿足題意，∠ADC=120°
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D中心，半徑為1的半球的．
所以所求體積為：=，
故選B．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計(jì)算公式．考查空間想象能力，計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動，則MN中點(diǎn)P的軌跡與直平行六面體的面所圍成的幾何體的體積為
2π
9
2π
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動．則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體表面所圍成的幾何體中較小體積值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,∠BAD=60°,長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動,另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動.則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體表面所圍成的幾何體中較小體積值為__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆四川省高二10月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

如右圖已知每條棱長都為3的四棱柱ABCD-ABCD中，底面是菱形，BAD=60°，D B⊥平面ABCD,長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD上運(yùn)動，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動，則MN中點(diǎn)P的軌跡與此四棱柱的面所圍成的幾何體的體積為 _____________

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（選修2-1）（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動．則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體表面所圍成的幾何體中較小體積值為（ ）

A．
B．
C．
D．

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