Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-2}}{{{2^x}+1}}$是奇函數(shù)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）求f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若方程f（x）=t在（-∞，0）上有解，證明：$-\frac{1}{3}＜f（t）＜0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，得到f（0）=0，解出a的值即可；
（Ⅱ）通過求導(dǎo)得到f′（x）＞0，從而求出函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）先根據(jù)x的范圍，求出t的范圍，從而得到2^t的范圍，進(jìn)而求出f（t）的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，
∴f（0）=0⇒a=1
此時(shí)，$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，經(jīng)檢驗(yàn)知f（x）為奇函數(shù)，
故a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅲ）由題意，方程$t=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}\;\;x∈（-∞，0）$有解，
$⇒{2^x}=\frac{1+t}{1-t}\;\;\;x∈（-∞，0）$有解
又$x∈（-∞，0）⇒{2^x}∈（0，1）⇒0＜\frac{1+t}{1-t}＜1⇒-1＜t＜0$；
$f（t）=\frac{{{2^t}-1}}{{{2^t}+1}}⇒{2^t}=\frac{1+f（t）}{1-f（t）}$，
又$\frac{1}{2}＜{2^t}＜1⇒\frac{1}{2}＜\frac{1+f（t）}{1-f（t）}＜1$，
$⇒-\frac{1}{3}＜f（t）＜0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，第（Ⅲ）問中先根據(jù)x的范圍，求出t的范圍，從而得到2^t的范圍是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．