已知的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且拋物線的焦點(diǎn)滿足，若邊上的中線所在直線的方程為（為常數(shù)且）．

（1）求的值；

（2）為拋物線的頂點(diǎn)，，，的面積分別記為，，，求證：為定值．

 

【答案】

（1）；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，拋物線的焦點(diǎn)滿足，從而知BC邊上的中點(diǎn)符合，因此點(diǎn)在直線上，令，可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求得的值；（2）首先設(shè)出的坐標(biāo)：，由已知，即可得，而，最終即可證得為定值．

試題解析：（1）因為拋物線的焦點(diǎn)滿足，取BC邊上的中點(diǎn)，則，故點(diǎn)在直線上，令，得，得拋物線的焦點(diǎn)，于是，． 5分

（2）記，由知：， 7分

且．于是，

．證畢． 13分

考點(diǎn)：1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)；2．直線與拋物線的位置關(guān)系；3．解析幾何中定值問題的解法．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正三角形OAB的三個頂點(diǎn)都在拋物線y2=2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的內(nèi)接圓（點(diǎn)C為圓心）
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓M的方程為（x-4-7cosθ）2+（y-7cosθ）2=1，過圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求
CE
•
CF
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Rt△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線y2=2px（p＞0）上，且斜邊AB∥y軸，則斜邊上的高等于
2p
2p
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黃岡模擬）已知拋物線y2=2px（p＞0），Rt△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且斜邊AB∥y軸，則斜邊上的高為（　�。�

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