設橢圓E： （）過，兩點，為坐標原點，

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解析；（1）因為橢圓E； （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點，

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為解方程組得，

即，

則△=，即

，

要使，需使，即，

所以，所以又，

所以，所以，即或，

因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，

所以圓的半徑為，，，

所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，

而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，

綜上， 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且．

因為，

所以，

， 

①當時

因為所以，

所以，

所以當且僅當時取”=”．

②  當時，．

③  當AB的斜率不存在時， 兩個交點為或，所以此時，

綜上， |AB |的取值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）設橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點，O為坐標原點，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且
OA 
⊥
OB 
？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0），O為坐標原點，
（1）橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點，求橢圓E的方程；
（2）若a＞b＞0，兩個焦點為 F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），M為橢圓上一動點，且滿足
F1M
•
F2M
=0，求橢圓離心率的范圍．
（3）在（1）的條件下，是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
OA
⊥
OB
？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點為F1（-
3
，0），而且過點H（
3
，
1
2
）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為G．證明：線段OT的長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年四川省綿陽市高三12月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設橢圓E:=1（）過點M（2，）, N（，1），為坐標原點

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。

 

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