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已知雙曲線-=1的左、右焦點為F1、F2，左準線為l，試問：能否在雙曲線的左支上找到一點P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項？并說明理由.

思路解析：解題方法相當于反證法，假設滿足條件的點P存在，則由條件出發(fā)，或求出點P，或導出予盾，最后得出結論.雙曲線左分支上的點P到左焦點F1的距離的最小值是c-a，到右焦點F2距離的最小值是c+a.

解法一：如上圖所示，假設雙曲線左支上存在一點P（x0,y0），使得=成立.

由第二定義，=e,∴|PF2|=e|PF1|.

由焦半徑公式,得e(-x0)=e·e(--x0),

即a-ex0=e(-a-ex0)，解得x0=.

∵a=5,b=12,∴c=13,e=.代入計算得x0=-.

∵點P在雙曲線的左支上，∴x0≤-a=-5.但-＞-5.

∴滿足條件的點P不存在.

解法二：由解法一得|PF2|=e|PF1|，                                              ①

又由雙曲線的定義，有|PF2|-|PF1|=2a.                                           ②

消去|PF2|得|PF1|==.

∵P在雙曲線的左支上，

∴|PF1|≥c-a=13-5=8.

但是＜8,∴滿足條件的點P不存在.

解法三：由解法二中的①、②兩式聯立,解得|PF1|==,|PF2|==.

∴|PF1|+|PF2|=.

但|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=26,

∵＜26,∴滿足條件的點P不存在.


練習冊系列答案
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已知雙曲線-=1的左焦點為F1,左,右頂點為A1,A2,P為雙曲線上任意一點,則分別以線段PF1,A1A2為直徑的兩個圓的位置關系為

A.相交           B.相切           C.相離              D.以上情況都有可能

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