Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（Ⅰ）當(dāng)a=5時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=5時，表達(dá)式中對數(shù)的真數(shù)大于0，即|x-1|+|x-5|-5＞0，分情況討論不等式的解集，最后取并集即可得到函數(shù)f（x）的定義域．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，即不等式|x-1|+|x-5|＞a恒成立，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出左邊的最小值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時，要使函數(shù)f（x）有意義，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①當(dāng)x≤1時，不等式①等價于-2x+1＞0，解之得x；
②當(dāng)1＜x≤5時，不等式①等價于-1＞0，無實(shí)數(shù)解；
③當(dāng)x＞5時，不等式①等價于2x-11＞0，解之得x
綜上所述，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，）∪（，+∞）．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤5時取等號）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）_min即a＜4，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4）．
點(diǎn)評：本題給出含有絕對值的對數(shù)形式的函數(shù)，求函數(shù)的定義域并討論不等式恒成立．著重考查了函數(shù)的定義域及其求法和絕對值不等式的解法與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．