Question

8．已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{3}{5}$，求證直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析 利用三角形的中位線平行于第三邊，平行線分線段成比例定理，得到FG、EH都平行于BD，利用平行線的傳遞性得到GF∥EH，再利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，則結(jié)論得證．

解答 證明：如圖，
∵F、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∴GF∥BD，并且GF=$\frac{3}{5}$BD，
∵點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，并且EH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥GF，并且EH≠GF，
∴EF與GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為P，
∴P∈面ABC內(nèi)，
同理C∈面ACD，
又∵面ABC∩面DAC=AC
∴P在直線AC上．
即EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件、證三點(diǎn)共線常用的方法，是基礎(chǔ)題．