Question

在數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，其前n項和為S_n，滿足2Sn=n-n2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=n•2an，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2Sn=n-n2，求出2Sn-1=n-1-(n-1)2(n≥2)，再由a_n=S_n-S_n-1，能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=n•21-n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)得：2Sn=n-n2，
∴2Sn-1=n-1-(n-1)2(n≥2)
∴a_n=S_n-S_n-1=1-n（n≥2）…（2分）
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=0，
∴數(shù)列{a_n}是a₁=0為首項、公差為-1的等差數(shù)列，
∴a_n=1-n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=n•21-n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•2⁰+2•2^-1+3•2^-2+4•2^-3+…+n•2^1-n2-1•Tn=1•2-1+2•2-2+3•2-3+4•2-4+…+(n-1)•21-n+n•2-n…（8分）
兩式相減得：

1

2

Tn=1+2-1+2-2+2-3+2-4+…+21-n-n•2-n
=2-2•(

1

2

)n-n•(

1

2

)n=2-(n+2)(

1

2

)n．
∴Tn=4-2(n+2)(

1

2

)n．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．