Question

（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°.

（Ⅰ）證明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直線A₁C 與平面BB₁C₁C所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）取AB的中點O，連接、、，因為CA=CB，所以，由于AB=A A₁，∠BA A₁=60⁰，所以，所以平面，因為平面，所以AB⊥A₁C；

（2）以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，所在直線為y軸建立如圖直角坐標(biāo)系，，，，則，，，設(shè)為平面的法向量，則，所以為平面的一個法向量，所以直線A₁C 與平面BB₁C₁C所成角的正弦值.

【解析】（1）構(gòu)造輔助線證明線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）利用向量法進(jìn)行求解.

【考點定位】本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)以及向量法求空間角，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運算能力.