Question

把3個(gè)大小完全相同且分別標(biāo)有1、1、2編號(hào)的小球，隨機(jī)放到4個(gè)編號(hào)為A、B、C、D的盒子中．
（Ⅰ）求2號(hào)小球恰好放在B號(hào)盒子的概率；
（Ⅱ）記ξ為落在A盒中所有小球編號(hào)的數(shù)字之和（若盒中無球，則數(shù)字之和為0），求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）把3個(gè)大小完全相同且分別標(biāo)有1、1、2編號(hào)的小球，隨機(jī)放到4個(gè)編號(hào)為A、B、C、D的盒子中，總的放法n=4³=64，而事件“2號(hào)小球恰好放在B號(hào)盒子”包含的基本事件數(shù)m=4²=16，由此能求出2號(hào)小球恰好放在B號(hào)盒子的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能取值，0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）把3個(gè)大小完全相同且分別標(biāo)有1、1、2編號(hào)的小球，
隨機(jī)放到4個(gè)編號(hào)為A、B、C、D的盒子中，
總的放法n=4³=64，而事件“2號(hào)小球恰好放在B號(hào)盒子”包含的基本事件數(shù)m=4²=16，
所以2號(hào)小球恰好放在B號(hào)盒子的概率為P=

m

n

=

1

4

．…（4分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能取值，0，1，2，3，4，
P(ξ=0)=

27

64

，
P(ξ=1)=

C 1 2 •32

64

=

18

64

，
P(ξ=2)=

C 1 3 +32

64

=

12

64

，
P(ξ=3)=

C 1 2 •3

64

=

6

64

，
P(ξ=4)=

1

64

…（10分）
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P（ξ）	27 64	18 64	12 64	6 64	1 64

且ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×

27

64

+1×

18

64

+2×

12

64

+3×

6

64

+4×

1

64

=1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力．