（2012•吉林二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足cos
A
2
=
2
5
5
，
AB
•
AC
=3，b+c=6
（I）求a的值；
（II）求
2sin(A+
π
4
)sin(B+C+
π
4
)
1-cos2A
的值．
分析：（I）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cosA，將已知的cos
A
2
代入求出cosA的值，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)
AB
•
AC
=3，將cosA的值代入求出bc的值，再由b+c的值，兩者聯(lián)立求出b與c的值，由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（II）由三角形的內(nèi)角和定理得到B+C=π-A，代入所求的式子中，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于cos2A的式子，由cosA的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos2A的值，代入化簡(jiǎn)后的式子中即可求出原式的值．
解答：解：（I）∵cos
A
2
=
2
5
5
，
∴cosA=2cos2
A
2
-1=
3
5
，
又
AB
•
AC
=3，即bccosA=3，
∴bc=5，又b+C=6，
∴b=5，c=1或b=1，c=5，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=20，
∴a=2
5
；
（II）
2sin(A+
π
4
)sin(B+C+
π
4
)
1-cos2A

=
2sin(A+
π
4
)sin(π-A+
π
4
)
1-cos2A
=
2sin(A+
π
4
)sin(A-
π
4
)
1-cos2A

=
2sin(A+
π
4
)cos[
π
2
-(A-
π
4
)]
1-cos2A
=
-2sin(A+
π
4
)cos(A+
π
4
)
1-cos2A

=-
sin(2A+
π
2
)
1-cos2A
=-
cos2A
1-cos2A
，
∴cosA=
3
5
，∴cos2A=2cos2A-1=-
7
25
，
∴原式=-
-
7
25
1+
7
25
=
7
32
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理，誘導(dǎo)公式，以及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）設(shè)函數(shù)f(x)=
1-a
2
x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅲ）若對(duì)任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有
(a2-1)
2
m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）設(shè)集合A={x|0≤x＜1}，B={x|1≤x≤2}，函數(shù)f(x)=
2x，(x∈A)
4-2x，(x∈B)
，x0∈A且f[f（x0）]∈A，則x0的取值范圍是
（log2
3
2
，1）
（log2
3
2
，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）設(shè)函數(shù)f（x）=
1-a2
x2+ax-lnx （a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅲ）若對(duì)任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c=2
3
b，sin2A-sin2B=
3
sinBsinC，則A=
π
6
π
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）執(zhí)行程序框圖，若輸出的結(jié)果是
15
16
，則輸入的a為（　　）

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