對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,記實(shí)數(shù)M的最大值是m.
(1)求m的值;
(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.
【答案】分析:(1)由題意可得,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立,再由
得,M≤2,由此可得m的值.
(2)由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和,而數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2,由此求得|x-1|+|x-2|≤2的解集.
解答:解:(1)不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,
對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立,
故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值.…(2分)
因?yàn)閨a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(a+b)≥0時(shí)等號(hào)成立,
即|a|≥|b|時(shí), 成立,
也就是的最小值是2,
故M的最大值為2,即 m=2.…(5分)
(2)不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2.
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和,
而數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2,
故|x-1|+|x-2|≤2的解集為:{x|}.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查絕對(duì)值的意義,絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
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