已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,|?|<
π
2
)
的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),在相鄰兩最值點(diǎn)
(x0,2),(x0+
3
2
,-2)
(x0>0)上f(x)分別取得最大值和最小值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=af(x)+b的最大和最小值分別為6和2,求a,b的值;
(3)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,|?|<
π
2
)
,如果在任意兩個(gè)偶數(shù)內(nèi)f(x)至少能同時(shí)取得最大值A(chǔ)和最小值-A,那么正整數(shù)ω的最小值是多少?
分析:(1)依題意,通過(guò)相鄰兩最值點(diǎn)橫坐標(biāo)的差值解得T,再利用T=
ω
,解得ω.又最大值為2,最小值為-2,可得A=2,于是y=2sin(
3
x+φ).根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)(0,1),可得2sinφ=1,又|φ|
π
2
,可得φ.得到函數(shù)的解析式.
(2)利用函數(shù)的解析式推出-2≤f(x)≤2,利用最值即可得出a、b的方程組,解出a、b即可.
(3)利用函數(shù)的周期,找出最大值A(chǔ)和最小值-A,滿足題意的ω的最小值即可.
解答:解:(1)依題意,得
T
2
=x0+
3
2
-x0
,解得T=3=
ω
,解得ω=
3

∵f(x)的最大值為2,最小值為-2,∴A=2,
∴y=2sin(
3
x+φ).
∵圖象經(jīng)過(guò)(0,1),
∴2sinφ=1,即sinφ=
1
2

又|φ|
π
2
,∴φ=
π
6

∴f(x)=2sin(
3
x+
π
6
).
(2)∵f(x)=2sin(
3
x+
π
6
),
∴-2≤f(x)≤2,
∵函數(shù)g(x)=af(x)+b的最大和最小值分別為6和2,
-2a+b=6
2a+b=2
-2a+b=2
2a+b=6

解得,
a=-1
b=4
a=1
b=4

(3)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,|?|<
π
2
)
,
如果在任意兩個(gè)偶數(shù)內(nèi)f(x)至少能同時(shí)取得最大值A(chǔ)和最小值-A,
必須
T
2
≤2
,T≤4,即
ω
≤4
,∴ω≥
π
2

ω的最小值為:
π
2
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的解析式的求法,熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考查計(jì)算能力.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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