Question

在直角坐標(biāo)平面上，向量

OA

=(4，1)，向量

OB

=(2，-3)，兩向量在直線l上的正射影長(zhǎng)度相等，則直線l的斜率為

3或-

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)直線的方向向量公式，可設(shè)線l的方向向量為

OC

=( 1，k)，根據(jù)

OA

與

OB

在直線l上的射影長(zhǎng)度相等，得

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，可以求出斜率k的值．

解答：解：設(shè)直線l的斜率為k，得直線l的方向向量為

OC

=( 1，k)，
再設(shè)

OA

、

OB

與

OC

的夾角分別為θ₁、θ₂，
則 |

OA

| cosθ1=

OA • OC

| OC |

，|

OB

| cosθ2=

OB • OC

| OC |

因?yàn)?

OA

與

OB

在直線l上的射影長(zhǎng)度相等
所以

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，
又∵向量

OA

=(4，1)，向量

OB

=(2，-3)，
即|4+k|=|2-3k|
解之得，k=3或k=-

1

2

故答案為：3或-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和直線的斜率等知識(shí)，屬于中檔題．深刻理解平面向量的計(jì)算公式，將其準(zhǔn)確用到解析幾何當(dāng)中，是解決本題的關(guān)鍵．