Question

10．已知P為雙曲線上的一點，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點，若|PF₁|=2a，|PF₂|=4，求雙曲線離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=|2a-4|=2a，可得a=1，再由三角形的三邊關系，可得||PF₁|-|PF₂||＜|F₁F₂|≤|PF₁|+|PF₂|，求得c的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．

解答 解：由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=|2a-4|=2a，
解得a=1，
又||PF₁|-|PF₂||＜|F₁F₂|≤|PF₁|+|PF₂|，
即為2a＜2c≤2a+4，
即有1＜c≤3，
由離心率公式e=$\frac{c}{a}$，可得1＜e≤3．
則離心率e的取值范圍為（1，3]．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的范圍，考查運算能力，屬于基礎題．