Question

下列關于數列的說法：
①若數列{a_n}是等差數列，且p+q=r（p，q，r為正整數）則a_p+a_q=a_r；
②若數列{a_n}前n項和Sn=(n+1)2，則{a_n}是等差數列；
③若數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，則{a_n}是公比為2的等比數列；
④若數列{a_n}滿足S_n=2a_n-1，則{a_n}是首項為1，公比為2等比數列．
其中正確的個數為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①若數列{a_n}是等差數列，且p+q=r（p，q，r為正整數）則a_p+a_q=a_r，等差數列的性質判斷；
②根據s_n的通項公式，求出a_n，利用公式a_n=s_n-s_n-1，即可求解，要驗證首項是否滿足；
③若數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，則{a_n}是公比為2的等比數列，用用特殊數列的類型來研究判斷；
④數列{a_n}滿足S_n=2a_n-1，利用公式a_n=s_n-s_n-1，即可求出通項公式，從而進行判斷；

解答：解：①若數列{a_n}是等差數列，且p+q=r（p，q，r為正整數）則a_p+a_q=a_r，不是正確命題，應a_p+a_q=2a_r．故①錯誤；
②數列{a_n}前n項和Sn=(n+1)2，∴a_n=s_n-s_n-1=（n+1）²-n²=2n+1，當n=1代入Sn=(n+1)2得s₁=a₁=2²=4，
a_n=2n+1，首先n=1不滿足，從n≥2開始是等差數列，故②正確；
③若數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，則{a_n}是公比為2的等比數列，不是真命題，如：0，0，0，…，故③錯誤；
④數列{a_n}滿足S_n=2a_n-1，∴a_n=s_n-s_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，∴

an

an-1

=2，當n=1時得a₁=1，
∴a_n=2^n-1（n≥1），故④正確；
故選A；

點評：本題考查命題真假判斷與應用，求解此類題的關鍵是要對命題涉及的知識與定理、定義等有很好的理解與掌握，本題中舉反例時易因為0，0，0，…太特殊了而想不到，學習時應該對各類數列進行分類歸納，明確其性質．