Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=2^|x-m|+n，且f（2）=6．
（1）求m，n的值；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-a•2^x=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的周期性以及f（2）=6．建立方程即可求m，n的值；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解關(guān)于x的方程f（x）-a•2^x=0即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知f（0）=f（4），
可得2^|m|+n=2^|4-m|+n，
∴|m|=|4-m|，
∴m=2
又由f（2）=6可知2^|2-2|+n=6，
∴n=5
（2）方程即為2^|x-2|+5=a×2^x在[0，4]有解．
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，2^2-x+5=a•2^x，
則a=

4

(2x)2

+

5

2x

，
令(

1

2

)x=t∈[

1

4

，1]
則a=4t²+5t在[

1

4

，1]單增，
∴a∈[

3

2

，9]，
當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，2^x-2+5=a•2^x，
則a=

1

4

+

5

2x

，
令(

1

2

)x=t∈[

1

16

，

1

4

)
則a=

1

4

+5t，
∴a∈[

9

16

，

3

2

)
綜上：a∈[

9

16

，9]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出m，n是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．