設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出以下四個命題:
①當(dāng)c=0時,有f(-x)=-f(x)成立;
②當(dāng)b=0,c>0時,方程f(x)=0,只有一個實數(shù)根;
③函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,c)對稱 
④當(dāng)x>0時;函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,f(x)有最小值是c-
b2
2

其中正確的命題的序號是( 。
分析:根據(jù)“奇”ד偶”=“奇”,“奇”+“奇”=“奇”,可得c=0時函數(shù)為奇函數(shù),進而根據(jù)奇函數(shù)定義可判斷①;
當(dāng)b=0時,得f(x)=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù),方程f(x)=0只有一個實根,故②正確;
利用函數(shù)圖象關(guān)于點對稱的定義,可證得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(0,c)對稱,故③正確;
當(dāng)x>0時;函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c=x2+bx+c,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類討論,b取不同值時,函數(shù)的最小值可判斷④
解答:解:當(dāng)c=0時,函數(shù)f(x)=x|x|+bx為奇函數(shù),f(-x)=-f(x)恒成立,故①正確;
b=0時,得f(x)=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù),且值域為R,故方程f(x)=0,只有一個實數(shù)根,故②正確;
對于③,因為f(-x)=-x|x|-bx+c,所以f(-x)+f(x)=2c,可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(0,c)對稱,故③正確;
當(dāng)x>0時;函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c=x2+bx+c,當(dāng)b≤0時,f(x)有最小值是c,當(dāng)b>0時,f(x)有最小值是c-
b2
2
故④不正確.
故選D
點評:本題以命題真假的判斷為載體,考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象的對稱性和函數(shù)零點與等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A,若存在非零實數(shù)t,使得對于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域為[0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實數(shù)m的取值范圍是( 。
A、[-5,5]
B、[-
5
,
5
]
C、[-
10
,
10
]
D、[-
5
2
,
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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