Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化為a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+

2

x

，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，即a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+

2

x

，
則F′（x）=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．
故答案為：（-∞，3]

點評：該題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力．