Question

8．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x-3，x-y）．
（Ⅰ）在一個盒子中，放有標(biāo)號為2，3，4的三張卡片，從此盒中先抽取一張卡片其標(biāo)號記為x，放回后再抽取一張卡片其標(biāo)號記為y，若|OP|表示O與P兩點(diǎn)之間距離，求事件“|OP|=1”的概率；
（Ⅱ）若利用計算機(jī)隨機(jī)在[0，4]上先后取兩個數(shù)分別記為x，y，求P點(diǎn)在第一象限的概率．

Answer 1

分析 （I）列出抽出的卡片的所有情況以及使|OP|=1的情況，利用古典概型解答；
（II）在[0，4]上先后取兩個數(shù)分別記為x，y，為正方形區(qū)域，滿足P點(diǎn)在第一象限的區(qū)域是滿足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\\ x-3＞0\\ x-y＞0\end{array}\right.$，分別求出面積，利用幾何概型個數(shù)解答．

解答 解：（I）抽出的卡片的所有情況分別是：

（x，y）	（2，2）	（2，3）	（2，4）	（3，2）	（3，3）	（3，4）	（4，2）	（4，3）	（4，4）
P坐標(biāo)	（-1，0）	（-1，-1）	（-1，-2）	（0，1）	（0，0）	（0，-1）	（1，2）	（1，1）	（1，0）
|OP|	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{5}$	1	0	1	$\sqrt{5}$	$\sqrt{2}$	1

共有9種情況，…（4分）
使|OP|=1的（x，y）有（2，2）、（3，2）、（3，4），（4，4），有4種情況，
事件“|OP|=1”的概率$\frac{4}{9}$；…（6分）
（II）在[0，4]上先后取兩個數(shù)分別記為x，y，則$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\end{array}\right.$，
在平面直角坐標(biāo)系xOy中表示的區(qū)域的面積是16，…（8分）P點(diǎn)在第一象限應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\\ x-3＞0\\ x-y＞0\end{array}\right.$，如圖…（10分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中表示的區(qū)域的面積是$\frac{7}{2}$，
∴P點(diǎn)在第一象限的概率是$\frac{7}{32}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了古典概型和幾何概型的應(yīng)用，古典概型關(guān)鍵是明確事件個數(shù)，幾何概型關(guān)鍵是明確測度，利用長度、面積或者體積比求概率．