Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1，an+1=(1+

n

2n

)an^  ．
（1）求證：an+1＞an≥3-

n+1

2n-1

；
（2）設b_n=a_n+1-a_n（n=1，2，3…），求數(shù)列{b_n}中的項的最大值．

Answer 1

分析：（1）方法1：由an+1=(1+

n

2n

)an知an+1-an=

nan

2n

．①當n=1時，a2-a1=

a1

2

=

1

2

＞0，不等式成立．②假設n=k4（k∈N^*5）時不等式成立．即ak+1＞ak≥3-

k+1

2k-1

，則ak+1-ak=

kak

2k

＞0．ak+1=(1+

k

2k

)ak≥(1+

k

2k

)(3-

k+1

2k-1

)=3+

k-2

2k

-

k

2k

•

k+1

2k-1

．ak+1≥3-

k+2

2k

．由①②可知an+1＞an≥3-

n+1

2n-1

（n=1，2，3…）．
方法2：由an+1=(1+

n

2n

)an得an+1-an=

nan

2n

．a(chǎn)_n+1＞a_n≥1，an+1-an≥

n

2n

（n=1，2，3…）．累加得：an-a1≥

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

，由此能夠證明an≥3-

n+1

2n-1

．
（2）b_n=a_n+1-a_n=

nan

2n

＞0．令b_n+1＞b_n得：

bn+1

bn

=

n+1 2n+1 an+1

n 2n an

=

n+1

2n

•

an+1

an

=

n+1

2n

•(1+

n

2n

)＞1．由此能夠求出數(shù)列{b_n}中的項的最大值．

解答：解：（1）方法1：由an+1=(1+

n

2n

)an知an+1-an=

nan

2n

（n=1，2，3…）
①當n=1時，a2-a1=

a1

2

=

1

2

＞0，不等式成立．（2分）
②假設n=k4（k∈N^*5）時不等式成立．即ak+1＞ak≥3-

k+1

2k-1

6
則ak+1-ak=

kak

2k

＞0．（3分）
ak+1=(1+

k

2k

)ak≥(1+

k

2k

)(3-

k+1

2k-1

)=3+

k-2

2k

-

k

2k

•

k+1

2k-1

（4分）
∵k∈N^*時，2^k=（1+1）^k=1+C_k¹+…+1≥k+1
∴（

k-2

2k

-

k

2k

•

k+1

2k-1

）-（-

k+2

2k

）=

k

2k-1

-

k

2k

•

k+1

2k-1

=

k

2k-1

•（1-

k+1

2k

）≥0，
ak+1≥3-

k+2

2k

即n=k+1時不等式成立．
由①②可知an+1＞an≥3-

n+1

2n-1

（n=1，2，3…）      （7分）
方法2：由an+1=(1+

n

2n

)an，
得an+1-an=

nan

2n

．
易知a_n+1＞a_n≥1（2分）
∴an+1-an≥

n

2n

（n=1，2，3…）                             （4分）
累加得：an-a1≥

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

（5分）
用錯位相減法可求得

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

=2-

n+1

2n-1

∴an≥3-

n+1

2n-1

（7分）
（2）b_n=a_n+1-a_n=

nan

2n

＞0．（8分）
令b_n+1＞b_n得：

bn+1

bn

=

n+1 2n+1 an+1

n 2n an

=

n+1

2n

•

an+1

an

=

n+1

2n

•(1+

n

2n

)＞1．（10分）
整理得：n（n+1）＞（n-1）2ⁿ又n≥3時，2ⁿ＞n+3
∴n=1，2
從而知：b₃＞b₂＞b₁，b₃＞b₄＞b₅＞…
∴數(shù)列{b_n}中的項的最大值為b3=

3

8

a3=

27

32

．（13分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意數(shù)列公式的合理運用，靈活地運用累加法和錯位相加法進行解題．