Question

6．已知$f（x）=1+\frac{a}{{3}^{x}+1}$（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；    
（Ⅱ）在Ⅰ的前提下，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出該函數(shù)定義域為R，從而由f（x）為奇函數(shù)知f（0）=0，從而求出a=-2；
（Ⅱ）先寫出f（x）=$1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$，根據(jù)3^x＞0便可求出$\frac{1}{{3}^{x}+1}$的范圍，進(jìn)一步可求出$1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$的范圍，即得出f（x）的值域．

解答 解：（I）f（x）的定義域為R，f（x）為奇函數(shù)；
∴$f（0）=1+\frac{a}{1+1}=0$；
∴a=-2；
（Ⅱ）$f（x）=1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$；
3^x＞0；
∴$0＜\frac{1}{{3}^{x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域為（-1，1）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時有f（0）=0，指數(shù)函數(shù)的值域，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．