Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經過點P（

3

，

1

2

），離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）過點Q（0，

1

2

）的直線與橢圓交于A、B兩點，與直線y=2交于點M（直線AB不經過P點），記PA、PB、PM的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問：是否存在常數λ，使得

1

k1

+

1

k2

=

λ

k3

？若存在，求出λ的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設橢圓C的方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，再由橢圓經過點P（

3

，

1

2

），能求出橢圓C的標準方程．
（2）當直線AB斜率不存在時，有

1

k1

+

1

k2

=

2

k3

，λ=2；當直線AB斜率k存在時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB：y=kx+

1

2

，則M(

3

2k

，2)，聯立

y=kx+ 1 2 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+4kx-3=0，利用韋達定理結合題設條件能推導出

1

k1

+

1

k2

=

2

k3

，故存在常數λ=2符合題意．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，
∴a²=4b²，∴橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓經過點P（

3

，

1

2

），∴

3

4b2

+

1

4b2

=1，
解得b²=1，∴橢圓C的標準方程

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）當直線AB斜率不存在時，
A(0，-1)，B(0，1)，P(

3

，

1

2

)，有

1

k1

+

1

k2

=

2

k3

，∴λ=2，…（5分）
當直線AB斜率k存在時，
由已知有k≠0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設直線AB：y=kx+

1

2

，則M(

3

2k

，2)，…（6分）
聯立

y=kx+ 1 2 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+4kx-3=0，
∴

x1+x2= -4k 1+4k2 x1x2= -3 1+4k2

…（7分）
∴

1

k1

+

1

k2

=

x1- 3

y1- 1 2

+

x2- 3

y2- 1 2

=

x1- 3

kx1

+

x2- 3

kx2

=

1

k

[

x1- 3

x1

+

x2- 3

x2

]
=

1

k

2x1x2- 3 (x1+x2)

x1x2

=

2

k

-

4 3

3

，…（10分）
∵

1

k3

=

3 2k - 3

2- 1 2

=

1

k

-

2 3

3

…（12分）
∴

1

k1

+

1

k2

=

2

k3

，∴λ=2，故存在常數λ=2符合題意．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．