Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范圍；
（3）若f(1)=

8

3

，且函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），在上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
∴k=1
經(jīng)驗(yàn)證可知k=1時(shí)符合題意．…（4分）
（2）因f（x）是奇函數(shù)，
故f（x+2）+f（3-2x）＞0可化為f（x+2）＞f（2x-3）．…（6分）
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，…（8分）
∴x+2＜2x-3，
∴x＞5
∴滿足為f（x+2）+f（3-2x）＞0的x的取值范圍為（5，+∞）…（10分）
（3）∵f（1）=

8

3

，
∴a-

1

a

=

8

3

，即3a²-8a-3=0，
∴a=3（或a=-

1

3

舍去）．…（12分）
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）+2=（3^x-3^-x）2-2m（3^x-3^-x）+2
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

8

3

．
∴（3^x-3^-x）2-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²．
當(dāng)m≥

8

3

時(shí)，2-m²=-2，m=2，2＜

8

3

，故m=2應(yīng)舍去；…（14分）
當(dāng)m＜

8

3

時(shí)，(

8

3

)2-2m×

8

3

+2=-2，m=

25

12

＜

8

3

．
∴m=

25

12

．…（16分）