如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（
2
+1）．一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）由題意知，橢圓離心率為
c
a
=
2
2
，得a=
2
c，
因?yàn)?a+2c=4(
2
+1)，所以可解得2
2
，c=2，所以b2=a2-c2=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
4
=1，
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
-
y2
4
=1；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，則k1•k2=
y0
x0+2
•
y0
x0-2
=
y02
x02-4
=1，
假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），直線CD的方程為y=
1
k
（x-2），
y=k（x+2）代入橢圓方程消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達(dá)定理得x1+x2=-
8k2
2k2+1
，x1x2=
8k2-8
2k2+1

∴|AB|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
，
同理可得|CD|=
4
2
(1+k2)
k2+2
．
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3(k2+1)
4
2
(k2+1)
=
3
2
8
，
∴存在常數(shù)λ=
3
2
8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓C：（x+1）2+y2=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1，過(guò)程P（1，1）作直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

直線l過(guò)x軸上的點(diǎn)M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若M的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求直線l的方程；
（2）若M的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
1
2
，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)且
AM
•
AN
=0，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，
OB
=2
OA
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長(zhǎng)為8
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF1，PF2都相切，如存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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