Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直線BM與平面PAC所成的角．

Answer 1

分析：（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BDM中三條已知直線與PC都不平行，故我們要考慮在平面BDM中做一條與PC可能平行直線輔助線，然后再進行證明．
（2）要求直線BM與平面PAC所成的角，我們要先根據(jù)線面夾角的定義，找出直線BM在平面PAC上的射影，然后解三角形即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)AC與BD的交點為O，連接OM．
因為ABCD是菱形，則O為AC中點．
又M為PA的中點，所以O(shè)M∥PC．
因為OM在平面BDM內(nèi)，所以PC∥平面BDM．

（Ⅱ）因為ABCD是菱形，則BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，則PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直線BM與平面PAC所成的角．
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因為PA=AC=

2

，則PC=2．
又點M與點O分別是PA與AC的中點，則MO=

1

2

PC=1．
又BO=

1

2

BD=

3

，在Rt△BOM中，
tan∠BMO=

BO

MO

=

3

，所以∠BMO=60°．
故直線BM與平面PAC所成的角是60°．

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）． 求直線和平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系．（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構(gòu)造--作出或找到斜線與射影所成的角；②設(shè)定--論證所作或找到的角為所求的角；③計算--常用解三角形的方法求角；④結(jié)論--點明斜線和平面所成的角的值．