Question

在三棱柱ABC-A′B′C′中，側(cè)面CBB′C′⊥底面ABC，∠B′BC=60°，
∠ACB=90°，且CB=CC′=CA．
（1）求證：平面AB′C⊥平面A′C′B；
（2）求異面直線A′B與AC′所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A′B′C′中，側(cè)面CBB′C′⊥底面ABC，∠ACB=90°，由面面垂直的性質(zhì)可得AC⊥平面CBB′C′，進而得到AC⊥BC′，又由CB=C′C′，我們可以得到四邊形BCC′B′為菱形，進而得到BC′⊥B′C，然后根據(jù)線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理得到平面AB′C⊥平面A′C′B；
（2）延長CA到D，使CA=AD，連A'D，BD．根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合異面直線夾角的定義，易得到∠DA′B為異面直線A'B與AC'所成的角，解三角形∠DA′B，即可得到異面直線A′B與AC′所成的角．
解答：解：（1）∵平面CBB'C'⊥平面ABC，AC⊥BC，
AC⊥平面CBB′C′，
∴AC⊥BC′．（2分）
∵在平行四邊形BCC′B′中，CB=C′C′，∴平行四邊形BCC′B′為菱形．
∴BC′⊥B′C
∴BC′⊥平面AB'C．                 （4分）
又BC'?平面A′C′B
∴平面AB'C⊥平面A'C'B．（6分）
（2）延長CA到D，使CA=AD，連A'D，BD．
∵AC∥A′C′，AC=A′C′，∴AD∥A′C′，AD=A′C′．
∴ADA′C′為平行四邊形．
∴A′D∥AC′，A′D=AC′，
∴∠DA′B為異面直線A'B與AC'所成的角．                              （9分）
設(shè)BC=a，∴∠BCD=90°BC=aCD=2a，
∴BD==a
∴AC⊥平在菱形BCC'B'，∠CBB'=60°，BC=a，

又∵A′D=A′C=a從而在三角形AB′D中，．
∴∠DA′B=arccos                                                （11分）
∴異面直線A'B與AC'所成的角的大小為．                    （12分）
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，及異面直線所成的角，其中（1）中熟練掌握空間線面、線線、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，（2）中找出與異面直線A′B與AC′所成的角相等的平面角是關(guān)鍵．