【題目】如圖,三棱維中,平面平面,,,是棱的中點,點在棱上點是的重心.
(1)若是的中點,證明面;
(2)是否存在點,使二面角的大小為,若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)存在點,使二面角的大小為,此時.
【解析】
(1)延長交于點,連接,證明平面平面,得到證明.
(2)證明平面,以為原點建立空間直角坐標系,平面的法向量為,平面的法向量,計算夾角得到答案.
(1)延長交于點,連接,因為點是的重心,故為的中點,
因為,分別是棱,的中點,所以,,
又因為,所以平面平面,又平面,
所以平面.
(2)連接,因為,所以,又是的中點,
所以,
因為平面平面,而平面平面,平面,
所以平面,
如圖,以為原點,垂直于的直線為軸,,所在直線分別為軸,軸建空間直角坐標系,
設,則,,
所以,,,,,
假設存在點,設,,
則,
所以,又,
設平面的法向量為,則,
令,解得,
又平面,平面的法向量,
而二面角的大小為,所以,
即,解得,
所以存在點,使二面角的大小為,此時.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,若對任意,都有成立,則稱數(shù)列為“差增數(shù)列”.
(1)試判斷數(shù)列是否為“差增數(shù)列”,并說明理由;
(2)若數(shù)列為“差增數(shù)列”,且,,對于給定的正整數(shù)m,當,項數(shù)k的最大值為20時,求m的所有可能取值的集合;
(3)若數(shù)列為“差增數(shù)列”,,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了判斷英語詞匯量與閱讀水平是否相互獨立,某語言培訓機構隨機抽取了100位英語學習者進行調查,經過計算的觀測值為7,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,下列說法正確的是( )
附:
0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.有99%以上的把握認為英語詞匯量與閱讀水平無關
B.有99.5%以上的把握認為英語詞匯量與閱讀水平有關
C.有99.9%以上的把握認為英語詞匯量與閱讀水平有關
D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,可以認為英語詞匯量與閱讀水平有關
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線,如圖將分別繞原點逆時針旋轉,,得到曲線,,.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)分別寫出曲線的極坐標方程;
(2)設交于兩點,交于兩點(其中均不與原點重合),若四邊形的面積為,求的值.
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【題目】某學校為了解高三年級學生在線學習情況,統(tǒng)計了2020年2月18日-27日(共10天)他們在線學習人數(shù)及其增長比例數(shù)據(jù),并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組合圖.
根據(jù)組合圖判斷,下列結論正確的是( )
A.前5天在線學習人數(shù)的方差大于后5天在線學習人數(shù)的方差
B.前5天在線學習人數(shù)的增長比例的極差大于后5天的在線學習人數(shù)的增長比例的極差
C.這10天學生在線學習人數(shù)的增長比例在逐日增大
D.這10天學生在線學習人數(shù)在逐日增加
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】每年的臺風都對泉州地區(qū)的漁業(yè)造成較大的經濟損失.某保險公司為此開發(fā)了針對漁船的險種,并將投保的漁船分為I,II兩類,兩類漁船的比例如圖所示.經統(tǒng)計,2019年I,II兩類漁船的臺風遭損率分別為和.2020年初,在修復遭損船只的基礎上,對I類漁船中的進一步改造.保險公司預估這些經過改造的漁船2020年的臺風遭損率將降為,而其他漁船的臺風遭損率不變.假設投保的漁船不變,則下列敘述中正確的是( )
A.2019年投保的漁船的臺風遭損率為
B.2019年所有因臺風遭損的投保的漁船中,I類漁船所占的比例不超過
C.預估2020年I類漁船的臺風遭損率會小于II類漁船的臺風遭損率的兩倍
D.預估2020年經過進一步改造的漁船因臺風遭損的數(shù)量少于II類漁船因臺風遭損的數(shù)量
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若函數(shù)在點處的切線的斜率為,求實數(shù)的值;
(2)當時,討論函數(shù)的單調性;
(3)若關于的不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標系中,曲線的方程為,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.若將曲線上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半,縱坐標伸長到原來的倍,得曲線.
(1)寫出直線和曲線的直角坐標方程;
(2)設點, 直線與曲線的兩個交點分別為,,求的值.
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