Question

若不等式4x²-log_ax＜0對(duì)任意x∈（0，

1

4

）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[

  1

  256

  ，1）
• B、（

  1

  256

  ，1）
• C、（0，

  1

  256

  ）
• D、（0，

  1

  256

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得，x∈（0，

1

4

）時(shí)，函數(shù)y=4x²的圖象在函數(shù)y=log_ax的圖象的下方，可得0＜a＜1．再根據(jù)它們的單調(diào)性可得4×(

1

4

)2≤loga

1

4

，解此對(duì)數(shù)不等式求得a的范圍．

解答： 解：∵不等式4x²-log_ax＜0對(duì)任意x∈（0，

1

4

）恒成立，
∴x∈（0，

1

4

）時(shí)，函數(shù)y=4x²的圖象在函數(shù)y=log_ax的圖象的下方，∴0＜a＜1．
再根據(jù)它們的單調(diào)性可得4×(

1

4

)2≤loga

1

4

，即 log_aa

1

4

≤loga

1

4

，
∴a

1

4

≥

1

4

，∴a≥

1

256

．
綜上可得，

1

256

≤a＜1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．