已知圓（x+1）2+y2=8的圓心為M，N（t，0），t＞0且t≠2
2
-1，設(shè)Q為圓上任一點(diǎn)，線段QN的垂直平分線交直線MQ于點(diǎn)P．
（1）試討論動(dòng)點(diǎn)P的軌跡類型；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過C上任一點(diǎn)P作直線l，l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，l與圓M交于點(diǎn)AB，若△ABN的面積是
31
，求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題|PN|=|PQ|，當(dāng)0＜t＜2
2
-1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，2
2
為長(zhǎng)軸的橢圓；當(dāng)t＞2
2
-1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，2
2
為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線．
（2）t=1時(shí)，曲線C的方程是
x2
2
+y2=1，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由
x2
2
+y2=1
y=kx+m
消，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用圓心M（-1，0）到直線l的距離、弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．
解答： 解：（1）由題|PN|=|PQ|，
當(dāng)0＜t＜2
2
-1時(shí)，點(diǎn)N在圓M內(nèi)，點(diǎn)P在線段MQ內(nèi)，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=2
2
＞t+1
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，2
2
為長(zhǎng)軸的橢圓，…2分
當(dāng)t＞2
2
-1時(shí)，點(diǎn)N在圓M外，點(diǎn)P在線段MQ的延長(zhǎng)線上，
∴||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=2
2
＜t+1
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，2
2
為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線．…5分
（2）由（1）知t=1時(shí)，
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M（-1，0），N（1，0）為焦點(diǎn)，2
2
為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓
∴a=
2
，c=1，∴b=1
∴曲線C的方程是
x2
2
+y2=1…6分
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m
由
x2
2
+y2=1
y=kx+m
消y并整理成（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0（*）
∵l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴（*）方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0，
即有m2=1+2k2…7分
∵圓心M（-1，0）到直線l的距離為
|m-k|
1+k2
，
∴弦長(zhǎng)|AB|=2
8-(
|m-k|
1+k2
)2
=2
8-
(m-k)2
1+k2
，…9分
點(diǎn)N（1，0）到直線l的距離為d=
|m+k|
1+k2
，
∴△ABN的面積為S=
1
2
|AB|×d，
∴S=
8-
(m-k)2
1+k2
×
|m+k|
1+k2

=
8-
(m-k)2
1+k2
×
(m+k)2
1+k2

=
8(m+k)2
1+k2
-
(m2-k2)2
(1+k2)2

=
16(mk-1)
1+k2
+23
，
∵△ABN的面積是
31
，∴
16(mk-1)
1+k2
+23
=
31
，
解得得2mk=3+k2
∴4m2k2=（3+k2）2⇒4（1+2k2）k2=9+6k2+k4⇒（k2+1）（7k2-9）=0
∴k2=
9
7
，k=±
3
7
7

當(dāng)k=
3
7
7
時(shí)，代入2mk=3+k2得m=
5
7
7

當(dāng)k=-
3
7
7
時(shí)，代入2mk=3+k2得m=-
5
7
7
…12分
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x=
2
或x=-
2
經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件
綜上所求直線方程為y=
3
7
7
x+
5
7
7
或y=-
3
7
7
x-
5
7
7
．…13分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡類型的討論，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，以某短軸頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作為直徑的圓的周長(zhǎng)為
5
π．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，l，OB的斜率分別為k1，k，k2（其中k＞0）．△OAB的面積為S，以O(shè)A，OB為直徑的圓的面積分別為S1，S2，若k1，k，k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求
S1+S2
S
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，函數(shù)y=g（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞ax+1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)于x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosx，sinx）向量
b
=（cosx，-sinx），f（x）=
a
•
b

（Ⅰ）求函數(shù) g（x）=f（x）+sin2x的最小正周期和對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）若x是第一象限角且3f（x）=4sin2x，求tan（x+
π
4
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=4x上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱軸的上、下兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，并且|FA|=2，|FB|=5．
（1）求直線AB的方程；
（2）在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求最大面積．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
+lnx，若對(duì)任意的a∈[
1
e
，2e2]，函數(shù)f（x）滿足任意的x∈[1，e]都有f（x）＜m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x-1）=-2x+3，則f（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在橢圓中a=2b，過P（2，0），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2…x3的平均數(shù)是
x
，標(biāo)準(zhǔn)差是s，則另二組數(shù)2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案