Question

（本小題滿分15分）在直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是棱的中點(diǎn)，且.

（1）試在棱上確定一點(diǎn)，使平面；

（2）當(dāng)點(diǎn)在棱中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的大小的正弦值。

Answer 1

（1）,（2）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)的確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵；（2）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；（3）直線方向向量與平面的法向量所成銳角（如果求出鈍角減去90°）的余角即直線與平面所成的角； （4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：

（1）取邊中點(diǎn)為

∵底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴

連接，∵是邊的中點(diǎn)

∴，

所以可以建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，

為軸如圖所示的坐標(biāo)系 （4分）

則有 ，，，，

，，，

設(shè)，則，，

若，則有，

∴ 可得

即當(dāng)時(shí)，. （4分）

（2）當(dāng)點(diǎn)在棱中點(diǎn)時(shí)：

∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量

∴ 令，得 ，

∴ （4分）

設(shè)直線與平面所成角為，則

所以直線與平面所成角的正弦值為 （3分）

考點(diǎn)：空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.