Question

設a＞2，給定數列{x_n}，其中x₁=a，xn+1=

x 2 n

2(xn-1)

(n=1，2…)求證：
（1）x_n＞2，且

xn+1

xn

＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+

1

2n-1

(n=1，2…)．

Answer 1

分析：（1）我們用數學歸納法進行證明，先證明不等式x_n＞2當n=1時成立，再假設不等式x_n＞2當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式x_k+1＞2也成立，最后得到不等式x_n＞2對于所有的正整數n成立；
（2）我們用數學歸納法進行證明，先證明不等式xn≤2+

1

2n-1

當n=1時成立，再假設不等式xn≤2+

1

2n-1

當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式xn≤2+

1

2n-1

也成立，最后得到不等式xn≤2+

1

2n-1

對于所有的正整數n成立；

解答：證明：（1）①當n=1時，
∵x2=

x12

2(x1-1)

=x1+

(2-x1)x1

2(x1-1)

，
x2=

x12

2(x1-1)

=

4(x1-1)+x12 -4x1+4

2(x1-1)

=2+

(x1-2)2

2(x1-1)

，x₁=a＞2，
∴2＜x₂＜x₁．
結論成立．
②假設n=k時，結論成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），
則xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=xk+1+

(2-xk+1)xk+1

2(xk+1-1)

＞x_k+1，
xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=2+

(xk+1-2)2

2(xk+1-1)

＞2．
∴2＜x_k+2＜x_k+1，
綜上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．
∴x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．
（2）由條件x₁=a≤3知不等式當n=1時成立
假設不等式當n=k（k≥1）時成立
當n=k+1時，由條件及x_k＞2知xk+1≤1+

1

2k

?

x

2 k

≤2(xk-1)(2+

1

2k

)
?

x

2 k

-2(2+

1

2k

)xk+2(2+

1

2k

)≤0
?(xk-2)[xk-(2+

1

2k-1

)]≤0，
再由x_k＞2及歸納假設知，
上面最后一個不等式一定成立，
所以不等式xk+1≤2+

1

2k

也成立，
從而不等式xn≤2+

1

2n-1

對所有的正整數n成立

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．